Question

在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“⊕”：當a≥b時，a⊕b=a；當a＜b時，a⊕b=b²． 則函數f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x），x∈[-2，2]的最大值等于

6

（其中“•”和“-”仍為通常的乘法和減法）

Answer 1

分析：根據題中給出的定義，分當-2≤x≤1時和1＜x≤2時兩種情況討論，從而確定函數的解析式．結合一次函數和三次多項式函數的單調性分別算出最大值，再加以比較即可得到函數f（x）的最大值．

解答：解：①當-2≤x≤1時，
∵當a≥b時，a⊕b=a，∴1⊕x=1，2⊕x=2
∴（1⊕x）x-（2⊕x）=x-2，
可得當-2≤x≤1時，函數f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）的最大值等于-1；
②當1＜x≤2時，
∵當a＜b時，a⊕b=b²，∴（1⊕x）x-（2⊕x）=x²•x-（2⊕x）=x³-（2⊕x）=x³-2，
可得當1＜x≤2時，此函數f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）當x=2時有最大值6．
綜上所述，函數f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）的最大值等于6
故答案為：6

點評：本題給出新定義，求函數f（x）的最大值．著重考查了對新定義的理解和基本初等函數的性質，考查了分類討論的數學思想和分析解決問題的能力，屬于中檔題．