Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ．

（1）求證：AB⊥PC；
（2）求側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點O，連結PO，CO，AC，

∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB，

又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，

∴△ABC是等邊三角形，∴CO⊥AB，

又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，

又PC平面PCO，∴AB⊥PC

（2）解：∵四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP= ，

∴OP= =1，OC= = ，∴PC2=OP2+OC2，∴OP⊥OC，

以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，

則B（0，1，0），C（ ，0，0），P（0，0，1），D（ ），

=（ ）， =（0，﹣1，1）， =（ ，﹣1），

設 =（x，y，z）是平面BPC的一個法向量，

則 ，取x=1，得 =（1， ），

設平面DPC的一個法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，得 =（1，0， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）取AB的中點O，連結PO，CO，AC，推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．（2）以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出側面BPC與側面DPC所成的銳二面角的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系，需要了解相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能得出正確答案．