Question

【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．

（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，側棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點M在側棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）見解析； （II）.

【解析】

（Ⅰ）由題易證BE⊥PO，BE⊥AG，可得BE⊥平面PAG，既而證得平面PBE⊥平面APG；

（II）建立空間直角坐標系，分別求出平面MAB和平面ABD的法向量，再根據二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.

（Ⅰ）取BE中點F，連接AF，GF，由題意得A，F，G三點共線，

過點P作PO⊥AG于O，則PO⊥底面ABCDE

∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE⊥AG

∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，

∵BE平面PBE，

∴平面PBE⊥平面APG．

（II）連接PF，∵

又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，

∴PF⊥底面ABCDE．

∴O點與F點重合．

如圖，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系．

底面ABCDE的一個法向量

∵，∴，

設平面ABM的法向量，

∵，

∴，∴，

∴，取則，

∴，

∵二面角的法向量分別指向二面角的內外，＜＞即為二面角的平面角，

∴cos＜＞==．

∴二面角M-AB-D的余弦值為．

）