Question

如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三視圖中，正(主)視圖和側(左)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點M是A₁B₁的中點．

(1)求證：B₁C∥平面AC₁M；
(2)求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

Answer 1

(1)由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
連結A₁C，設A₁C∩AC₁＝O，連結MO，
由題意可知，得到MO∥B₁C，進一步得到B₁C∥平面AC₁M.
(2)利用已知得到C₁M⊥A₁B₁，
根據平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
得到C₁M⊥平面AA₁B₁B，達到證明目的：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

試題分析：
思路分析：首先，由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形。（1）小題，為證明B₁C∥平面AC₁M，只需證明B₁C平行于平面AC₁M內的任一直線，發現、構造這樣的一條直線是關鍵。通過連結A₁C，并設A₁C∩AC₁＝O，則MO即為這樣的直線。
（2）小題，為證明“面面垂直”，須注明“線面垂直”。由等腰三角形底邊的中線，發現垂直關系。
證明：(1)由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
連結A₁C，設A₁C∩AC₁＝O，連結MO，
由題意可知，A₁O＝CO，A₁M＝B₁M，
∴MO∥B₁C，
又MO?平面AC₁M，
B₁C?平面AC₁M，∴B₁C∥平面AC₁M.
(2)∵A₁C₁＝B₁C₁，M為A₁B₁的中點，
∴C₁M⊥A₁B₁，
又平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B＝A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，又，所以，平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。三視圖問題，關鍵是理解三視圖的畫法規則，應用“長對正，高平齊，寬相等”，確定數據。認識幾何體的幾何特征，是解題的關鍵之一。