Question

正四棱錐中，，點M，N分別在PA，BD上，且．

（Ⅰ）求異面直線MN與AD所成角；
（Ⅱ）求證：∥平面PBC；
（Ⅲ）求MN與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

（1）90^o
（2）要證明線面平行，則主要證明線線平行即可，結合判定定理得到。
（3）

試題分析：（Ⅰ）設AC與BD的交點為O，AB=PA=2。以點O為坐標原點，，方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.
則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），
設P（0，0，p）, 則=(-1,1,p)，又AP=2,∴1+1+p²=4,∴p=,
∵=,
,
∴,,
∵,∴異面直線MN與AD所成角為90^o
（Ⅱ）∵,
設平面PBC的法向量為="(a,b,c)," 則,
取= , ∵,∴MN∥平面PBC。      
（Ⅲ）設平面PAB的法向量為="(x,y,z),"
由，∴則,        
取= , cos<> =,
∴MN與平面PAB所成角的正弦值是            

點評：主要是考查了線面的位置關系的運用，屬于中檔題。