Question

【題目】已知圓C的方程：x2+y2﹣4x﹣6y+m=0，若圓C與直線a：x+2y﹣3=0相交于M、N兩點，且|MN|=2 ．
（1）求m的值；
（2）是否存在直線l：x﹣y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為 ，若存在，求出c的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方為（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m．

∵此方程表示圓，

∴13﹣m＞0，即m＜13．r= ，

圓C與直線a：x+2y﹣3=0相交于M、N兩點，且|MN|=2 ．

圓的圓心到直線的距離為：d= = ．

可得 ．

即：5=13﹣m﹣3，解得m=5

（2）解：（x﹣2）2+（y﹣3）2=8．圓的圓心（2，3），半徑為2

直線l：x﹣y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為 ，

則圓心C（2，3）到直線l：x﹣y+c=0的距離為： = ，

可得：2 ﹣ ＞ ，

解得﹣2＜c＜4

【解析】（1）由方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方為（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m．由于此方程表示圓，可得13﹣m＞0，解出m的范圍，利用弦心距與半徑半弦長的關系，求解m即可．（2）求出圓心與半徑，利用半徑與圓的圓心到直線的距離的差大于 ，列出不等式求解即可．