Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上一動點，設點P和直線AC₁確定的平面為α，過點P與直線AC₁垂直的平面為β，則下列命題正確的序號是

 

①α⊥β；
②平面α將正方體分割為體積相等的兩部分；
③β截正方體所得截面多邊形可能是四邊形；
④β截正方體所得截面多邊形的面積是定值；
⑤當且僅當P是A₁D₁的中點時，α截正方體所得截面多邊形周長最小．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：由面面垂直的判定定理可判斷①；運用正方體的對稱性即可判斷②；可根據截面A₁BD和截面B₁CD₁都和直線AC₁垂直，可知β截正方體所得截面介于截面A₁BD和截面B₁CD₁之間，從而判斷③；可考慮P為中點時的截面面積，可判斷④；延長DD₁至點E，使得DD₁=D₁E，討論P為中點時的截面周長，可判斷⑤．

解答： 解：①因為平面α過AC₁，且AC₁⊥β，
所以α⊥β，故①正確；
②由于平面α經過直線AC₁，
由對稱性易知②正確；
③由于AC₁⊥截面A₁BD和AC₁⊥截面B₁CD₁，
β截正方體所得截面介于截面A₁BD和
截面B₁CD₁之間，可以是三角形或六邊形，
故③錯；
④當P為A₁D₁的中點時的截面面積與三角形A₁BD的面積顯然不等，故④錯；
⑤延長DD₁至點E，使得DD₁=D₁E，
則有AP+PC₁=AP+EP≥AE，
當且僅當P是A₁D₁的中點時，等號成立，
此時結合對稱性知截面多邊形的周長最小，
故⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關系，考查線面垂直、面面垂直的判定，同時考查空間想象能力和判斷能力．