Question

【題目】某城市先后采用甲、乙兩種方案治理空氣污染各一年，各自隨機抽取一年（365天）內100天的空氣質量指數API的檢測數據進行分析，若空氣質量指數值在[0，300]內為合格，否則為不合格.表1是甲方案檢測數據樣本的頻數分布表，如圖是乙方案檢測數據樣本的頻率分布直方圖.

表1：

API值	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	大于300
天數	9	13	19	30	14	11	4

（1）將頻率視為概率，求乙方案樣本的頻率分布直方圖中的值，以及乙方案樣本的空氣質量不合格天數；

（2）求乙方案樣木的中位數；

（3）填寫下面2×2列聯表（如表2），并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為該城市的空氣質量指數值與兩種方案的選擇有關.

表2：

	甲方案	乙方案	合計
合格天數	_______	_______	_______
不合格天數	_______	_______	_______
合計	_______	_______	_______

附：

	0.10	0.05	0.025
	2.706	3.841	5.024

Answer 1

【答案】（1），11天；（2）170；（3）表格見解析，有90%的把握認為該城市的空氣質量指數值與兩種方案的選擇有關

【解析】

（1）根據頻率和為1列出等式求解a，用乙方案樣本中空氣質量指數值大于300的頻率乘以總天數即可得解；（2）根據中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的列出等式即可求得中位數；（3）由題意填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論.

（1）由頻率分布直方圖知，

，

解得，

∴乙方案樣本中不合格天數為（天）；

（2）根據圖1，得，

又，∵，

∴中位數在（150，200]之間，設中位數為,

則，解得,

∴乙方案樣本的中位數為170；

（3）由題意填寫列聯表如下，

	甲方案	乙方案	合計
合格天數	96	89	185
不合格天數	4	11	15
合計	100	100	200

由表中數據，計算，

，

∴有90%的把握認為該城市的空氣質量指數值與兩種方案的選擇有關.