Question

【題目】如圖，在正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，E是棱PC的中點(diǎn)，過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若PM= PB，PN=λPD，求λ的值；
（2）求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）

， ， ， ， ．

，

∵AN，AE，AM共面，∴

（2）解：根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大，

，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最小．

①由（Ⅰ）知當(dāng)PM=PN時(shí)，λ= ， ，

設(shè)面AMEN的法向量為 ，

由 ， 取

設(shè)直線PA與平面AMEN所成角為θ，sinθ=|cos＜ ＞|= ，

②當(dāng)M在B時(shí)，因?yàn)锳B∥面PDC，所以過(guò)AB，AE的面與面PDC的交線NE∥AB

設(shè) 是面ABEN的法向量，

由 ，可取

sinθ=|cos＜ ＞|= ．

直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[ ， ]

【解析】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣ ，0），B （ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），P（0，0，2），E（0， ，1）由AN，AE，AM共面， ．（2）根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，P到面AMEN的距離最大，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距離最小，此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最小．利用向量分別求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．