Question

已知拋物線y²=x上存在兩點關于直線l:y=k(x-1)+1對稱，求實數k的取值范圍.

Answer 1

-2<k<0即為所求.

解法一：設拋物線上的點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)關于直線l對稱，則y₁²=x₁,y₂²=x₂.
兩式相減得(y₁+y₂)·(y₁-y₂)=x₁-x₂,即y₁+y₂=.
∵=k_AB=-,∴y₁+y₂=-k.∴=-.
∵AB中點在直線l上，∴可得=-,即弦的中點為(-,-).
∴由點斜式可得AB：y+=-(x-+)，即x=-ky--.
代入y²=x中得y²+ky++-=0.
由Δ=k²-4·(+-)>0,得-2<k<0即為所求.
解法二：設拋物線上的點A(y₁²,y₁)、B(y₂²,y₂)關于直線l對稱，則

∴y₁、y₂是方程t²+kt++-=0的兩個不同根.
∴Δ=k²-4(+-)>0,得-2<k<0即為所求.