Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若這個三棱柱的底面是等邊三角形，側面都是正方形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）取、的中點、，連接、，證明出平面以及，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：取的中點為，連接、.

、分別為、的中點，，且，

為的中點，且.

且，四邊形為平行四邊形，.

平面，平面，平面；

（Ⅱ）解：設的中點為，連接，

為等邊三角形 ，∴

側面都是正方形 ，，，

、平面且，平面，

平面，，，平面.

取中點為，連接，則.

以為原點，以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖.

設，則、、，

，，

設平面的法向量為，則，

令，得，

取平面的法向量為.則，

結合圖形可知，二面角為銳角，其余弦值為.