Question

【題目】已知定義在R上奇函數f(x)在時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分.

（1）請補全函數f(x)的圖象；

（2）寫出函數f(x)的表達式；

（3）討論方程|f(x)|=a的解的個數.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）利用奇函數關于原點對稱可得圖象；

（2）時，函數圖象為拋物線的一部分，頂點在，且過原點利用拋物線的頂點式寫出其解析式即可，根據奇函數性質即可求得f(x)的表達式；

（3）方程|f(x)|=a的解的個數，即函數|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數，數形結合即可得出結果.

解：（1）補全f(x)的圖象如圖所示：

（2）當時，設，由f(0)=0得，a=2，

所以此時，.

當x<0時，x>0，所以①

又f(x)=f(x)，代入①得

綜上可得，.

（3）方程|f(x)|=a的解的個數，即函數|f(x)|的圖象和直線y=a的交點個數，函數y=|f(x)|的圖象如圖2所示，

由圖象可得，當a<0時，方程無解；當a=0時，方程有三個解；

當0<a<2時，方程有6個解；當a=2時，方程有4個解；當a>2時，方程有2個解.