Question

如圖，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中點(diǎn)，∠BCQ=60°，將△QDA沿AD折起，點(diǎn)Q變?yōu)辄c(diǎn)P，使平面PAD⊥平面ABCD。
（1）求證：BC∥平面PAD；
（2）求證：△PBC是直角三角形；
（3）求三棱錐P-BCD的體積。

Answer 1

（1）證明：∵AB∥CQ，D是CQ的中點(diǎn)， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴ABCD是平行四邊形， ∴BC∥AD， 又∵平面PAD，AD平面PAD， ∴BC∥平面PAD.
（2）證明：∵∠BCQ=60°，AB=BC， ∴ABCD是菱形，∴△PDA，△BDA均為等邊三角形， 取AD中點(diǎn)E，連PE，BE， ∴， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD， ∴PE⊥平面ABCD， ∴PE⊥BC， 又∵BC∥AD， ∴BC⊥BE， 又∵PE∩BE=E， ∴BC⊥平面PEB， ∴BC⊥PB，∴△PBC是直角三角形。
（3）解：∵， ∴， ∴三棱錐P-BCD的體積為1.