Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時，求證函數(shù)在上是增函數(shù).

(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）分別求得一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，由二階導(dǎo)的正負(fù)可確定一階導(dǎo)的單調(diào)性，從而得到，確定恒大于等于零，由此可得結(jié)論；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點(diǎn)的問題；利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性，得到的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時，，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

且不恒等于 在上是增函數(shù)

（2）函數(shù)在在有兩個不同的解，即在有兩個不同的解

令，則問題等價于與有兩個不同交點(diǎn)

當(dāng)時，；當(dāng)時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

由此可得圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時，與有兩個不同交點(diǎn)

時，在上有兩個不同的零點(diǎn)