Question

【題目】已知函數，其中.

(Ⅰ) 當a＝－1時，求證： ；

(Ⅱ) 對任意，存在，使成立，求a的取值范圍.（其中e是自然對數的底數，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得函數的最大值為 即可證得結論；

(2)首先利用分析法真理要證明的不等式，然后構造函數證明結論即可.

試題解析：

（Ⅰ）當 a＝－1時， （x＞－1），

則，令，得．

當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減．

故當時，函數取得極大值，也為最大值，所以，

所以， ，得證．

（Ⅱ）不等式，

即為．

而

．

令．故對任意，存在，使恒成立，

所以．

設，則，

設，知對于恒成立，

則為上的增函數，于是，

即對于恒成立，所以為上的增函數．

所以

設，即，

當a≥0時， 為上的減函數，且其值域為R，可知符合題意．

當a＜0時， ，由可得，

由得，則p(x)在上為增函數；由得，則p(x)在上為減函數，所以．

從而由，解得．

綜上所述，a的取值范圍是.