Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC ="AB" =AA，=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，  E，F，H分別是AC，AB，BC的中點， 
（I）證明：EF⊥AH；   
（II）求平面EFC與平面BB′C′所成夾角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析  （Ⅱ）.

(I)證明線線垂直，可以通過證明線面垂直來解決。本小題連接,分別是的中點后，可知,這樣可以通過證面,得，故.
(II)以A為原點，AB、AA`、AC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz，然后分別求出平面EFC和平面BB′C′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值
（Ⅰ）如圖連接,分別是的中點,
故是的中位線，，………………2分
又由,兩兩垂直知，
，又面,面，則…………4分
即面,則，故.…………………………6分
（Ⅱ）如圖建立空間坐標系，
,
………………………………8分

顯然=0，故
不妨設面的法向量為
，
即：，
不妨令，………………10分
易知面，不妨令面的法向量為
設面與面夾角為，