Question

已知、、為正實數，．
（1）當、、為的三邊長，且、、所對的角分別為、、．若，且．求的長；
（2）若．試證明長為、、的線段能構成三角形，而且邊的對角為．

Answer 1

（1）2；（2）見解析.

試題分析：(1)本題屬于解三角形問題，它是“已知兩邊及一邊所對的角，求第三邊”的問題，解決這個問題可以有兩種方法，一種是先用正弦定理求出已知兩邊所對的角中未知的一角，從而可求得第三角，然后用余弦定理求出第三邊，也可以直接用余弦定理列出待求邊的方程，通過解方程求出第三邊；（2）首先要證明長為、、的線段能構成三角形，即證，即證
，而這個不等式通過已知條件，再利用易得，其次再由余弦定理很快可得．
試題解析：（1）解：由 （3分）
（5分）
（2）證：由，可得（6分）
所以
也就是（9分）
因此長為的線段能構成三角形，不妨記為。
在 中，由余弦定理可設（11分）
即又，由的單調性可得（14分）
所以邊的對角為.