【題目】已知函數
．
（1）當
時，求
在
處的切線方程；
（2）令
，已知函數
有兩個極值點
，且
，
①求實數
的取值范圍；
②若存在
，使不等式
對任意（取值范圍內的值）恒成立，求實數
的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）①
；②
【解析】
（1）求出導數
，計算
，
，由點斜式寫出切線方程并整理成一般式.
（2）①求出
，由
，可得
有兩個滿足題意的不等實根，由二次方程根的分布可得
的取值范圍；②由①求出兩極值點，確定
的單調性，得在
單調遞增，因此題設中
使不等式成立，取的最大值
，使之成立即可，化簡為不等式
，對任意的
恒成立，引入函數
，由導數研究此函數的單調性得不等式成立的條件.
（1）當
時，
，
，
時，
，
，
在
處的切線方程為
，
化簡整理可得.
（2）①對函數求導可得，
，
令可得，
，
解得實數的取值范圍為.
②由，解得
，
而在
上遞增，在
上遞減，在
上遞增，
，
，
在單調遞增，
在上，
，
，使不等式
，
對
恒成立，等價于不等式
恒成立，
即不等式對任意的
恒成立.
令，
則
，
當
時，
，
在上遞減，即
，不合題意.
當
時，
，
若
，即
時，則在上遞減，
，
時，
不能恒成立；
若
，即
時，
則在上遞增，
恒成立，
實數
的取值范圍
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【題目】橢圓
將圓
的圓周分為四等份，且橢圓
的離心率為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
與橢圓交于不同的兩點
，且
的中點為
，線段的垂直平分線為
，直線與
軸交于點
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數，
為直線的傾斜角），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求
時直線的普通方程；
（2）直線和曲線交于兩點
，點
的直角坐標為
，求
的最大值.
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【題目】設
分別是橢圓
的左、右焦點，已知橢圓的長軸為
是橢圓
上一動點，
的最大值為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于
兩點，
為橢圓上一點，
為坐標原點，且滿足
，其中
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝xex，g（x）＝a（lnx+x）.
（1）當a＝e時，求證：f（x）≥g（x）恒成立；
（2）當a＞0時，求證：f（x）≤g（x）+1恒有解.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，其中
是自然對數的底數.
（1）若
，
，證明
；
（2）是否存在實數
，使得函數
在區間
上有兩個零點？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一塊半圓形空地，開發商計劃建造一個矩形游泳池
及左右兩側兩個大小相同的矩形休息區，其中半圓的圓心為
，半徑為
，矩形
的一邊
在
上，矩形
的一邊
在
上，點
在圓周上，
在直徑上，且
，設
．若每平方米游泳池的造價與休息區造價之比為
.
（1）記游泳池及休息區的總造價為
，求的表達式；
（2）為進行投資預算，當
為何值時，總造價最大？并求出總造價的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，點
是拋物線
上一點，且滿足
.
（1）求
、
的值；
（2）設
、
是拋物線上不與
重合的兩個動點，記直線
、
與的準線的交點分別為
、
，若
，問直線
是否過定點？若是，則求出該定點坐標，否則請說明理由.
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