Question

在數列a_n中，a₁=0時，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，其公差為2k．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記，證明：當n為偶數時，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a₁=0時，且對任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差數列，代入計算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）觀察已知條件可得a_2k+1-a_2k-1=4k，利用累加法a_2k+1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1+a_2k-3）可求出a_2k+1，從而可得數列的通項；
（3）確定數列的通項，利用分組求和法，即可證得結論．
解答：（1）解：由題設，可得a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a₄=a₃+4=8；
（2）解：由題意可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N₊，
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），從而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²
于是數列{a_n}的通項公式為；
（3）證明：由（2）知，當n為偶數時，
當n為奇數時，
n=2時，2n-T_n=4-2=2，不等式成立
當n為偶數且n≥4時，
=+
=++…+[]=2n-2+=
∴
∴
綜上，當n為偶數時，有．
點評：本題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．