Question

已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若關于x的不等式f（x）＞a²-2a對于任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示數軸上的x對應點到-2和1對應點的距離之和，而-3和2對應點到-2和1對應點的距離之和正好等于5，由此求得不等式的解集．
（2）若關于x的不等式f（x）＞a²-2a對于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a²-2a．而由絕對值的意義可得f（x）的最小值為3，可得 3＞a²-2a，由此解得a的范圍．

解答：解：（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示數軸上的x對應點到-2和1對應點的距離之和，
而-3和2對應點到-2和1對應點的距離之和正好等于5，故不等式的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（2）若關于x的不等式f（x）＞a²-2a對于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a²-2a．
而由絕對值的意義可得f（x）的最小值為3，
∴3＞a²-2a，解得-1＜a＜3，
故所求的a的取值范圍為（-1，3）．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．