Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/769.png' />，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-kx³
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x²-kx³
當(dāng)k=0時(shí)，f'（x）=-2x，在區(qū)間（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
當(dāng)k≠0∴
∴在區(qū)間是減函數(shù)；
在區(qū)間（-，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵，當(dāng)
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴上，當(dāng)x=1時(shí)g（x）取得最大值1
當(dāng)
當(dāng)，
由（舍）或a=1（舍）
∴存在滿足題意的實(shí)數(shù)．
分析：（Ⅰ）先設(shè)x＜0，得-x＞0，再利用七函數(shù)的定義f（x）=-f（-x）求出x＜0時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式，再與已知相結(jié)合即可求整個(gè)函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x²-kx³，求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)為0的根，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)和原函數(shù)的關(guān)系即可判斷出函數(shù)的性；
（Ⅲ）先把代入求出g（x）=-（x-1）²+1，再利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求法與條件相結(jié)合得x=1時(shí)g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論