Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設x＜0，得-x＞0，再利用七函數(shù)的定義f（x）=-f（-x）求出x＜0時對應的解析式，再與已知相結(jié)合即可求整個函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³，求出其導函數(shù)以及導函數(shù)為0的根，利用導函數(shù)值的正負和原函數(shù)的關系即可判斷出函數(shù)的性；
（Ⅲ）先把代入求出g（x）=-（x-1）²+1，再利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的求法與條件相結(jié)合得x=1時g（x）取得最大值1，最后利用最小值即可求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-kx³
∴當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（x²+kx³）
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²-kx³
當k=0時，f'（x）=-2x，在區(qū)間（-∞，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
當k≠0∴
∴在區(qū)間是減函數(shù)；
在區(qū)間（-，0）上，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
（Ⅲ）∵，當
∴g（x）=f'（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
又∵a＞1．
∴上，當x=1時g（x）取得最大值1
當
當，
由（舍）或a=1（舍）
∴存在滿足題意的實數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論