Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的零點；

（2）設函數的圖象與函數的圖象交于，兩點，求證：；

（3）若，且不等式對一切正實數x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)x=1 (2)證明見解析 (3)

【解析】

（1）令，根據導函數確定函數的單調區間，求出極小值，進而求解；

（2）轉化思想，要證 ，即證 ，即證，構造函數進而求證；

（3）不等式 對一切正實數恒成立，，設，分類討論進而求解．

解：（1）令，所以，

當時，，在上單調遞增；

當時，，在單調遞減；

所以，所以的零點為．

（2）由題意， ，

要證 ，即證，即證，

令，則，由（1）知，當且僅當時等號成立，所以，

即，所以原不等式成立．

（3）不等式 對一切正實數恒成立，

，

設，，

記，△，

①當△時，即時，恒成立，故單調遞增．

于是當時，，又，故，

當時，，又，故，

又當時，，

因此，當時，，

②當△，即時，設的兩個不等實根分別為，，

又，于是，

故當時，，從而在單調遞減；

當時，，此時，于是，

即 舍去，

綜上，的取值范圍是．