Question

【題目】定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數(shù)y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三個零點，則a的取值范圍是（ ）
A.（0， ）
B.（0， ）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1）， 且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
可得f（1）=0 則有，f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函數(shù)f（x）的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．
函數(shù)y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上恰有三個零點，
令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象恰有3個交點．
作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．
要使函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上恰有三個零點，
則有g（2）＞f（2）且f（4）＞g（4），即 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，且﹣2＞loga（4+1），
解得 ＜a＜ ．
故選：C．