Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點，且PE= PC．

（Ⅰ）求PE的長；
（Ⅱ）求證：AE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，
AB=AP=2，DA=DC=1，E為PC上一點，
且PE= PC，
∴AC= = ，
∴PC= = = ，
∴PE= PC= ．

（Ⅱ）證明：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（ , , ），B（2，0，0），
=（ , , ）， =（2，0，﹣2），
=（1，1，﹣2），
= =0， = =0，
∴AE⊥PB，AE⊥PC，
又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．
（Ⅲ）解：D（0，1，0）， =（2，0，0）， =（0，1，0）， =（ , , ），
設平面ABE的法向量 =（x，y，z），
則 ，取y=1，得 =（0，1，﹣1），
設平面ADE的法向量 =（a，b，c），
則 ，取a=1，得 =（1，0，﹣1），
設二面角B﹣AE﹣D的度數為θ，
則cosθ= = = ．
∴θ=60°，
∴二面角B﹣AE﹣D的度數為60°．
【解析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC長，從而得到PC長，由此能求出PE．（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AE⊥平面PBC．（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．