Question

定義：兩個連續函數（圖象不間斷）f（x）、g（x）在區間[a，b]上都有意義，則稱函數|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函數f（x）與g（x）在區間[a，b]上的“絕對和”．已知函數f（x）=x³，g（x）=x³-3ax²+2．
（Ⅰ）若函數y=g（x）在點P（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求漢順f（x）與g（x）在區間[0，2]上的“絕對值”
（Ⅲ）記f（x）與g（x）在區間[0，2]上的“絕對和”為h(a)，a＞

3

2

，且h（a）=2，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用導數的幾何意義求解．
（Ⅱ）先建立m（x）=f（x）+g（x），再求導研究單調性，確定極值，再加上端點求得最大值．
（Ⅲ）按照（II）的思路求得“絕對和”，再由a＞

3

2

和[0，2]分類討論．

解答：解：（Ⅰ）∵g′（x）=3x²-6ax，g（x）地點（1，g（1））處的切線與直線y=x+2平行，
∴g′（1）=3-6a=1，a=

1

3

（Ⅱ）m（x）=2x³-x²+2，m′（x）=6x²-2x=6x（x-

1

3

）由m′（x）=6x²-2x=6x（x-

1

3

）＞0，得x＜0或x＞

1

3

由m′（x）=6x²-2x=6x（x-

1

3

）＜0，得0＜x＜

1

3

又∵x∈[0，2]
|m（2）|＞|m（0）|＞|m（

1

3

）|
∴f（x）與g（x）在區間[0，2]上的“絕對和”為12
（Ⅲ）記m（x）=f（x）+g（x），則m（x）=2x³-3ax²+2
m′（x）=6x（x-a）
∵a＞

3

2

＞0
∴由m（x）=6x（x-a）＞0得x＞a或x＜0
由m（x）=6x（x-a）＜0得0＜x＜a
又∵x∈[0，2]，且a＞

3

2

（1）當

3

2

＜a＜2時，m（x）在[0，a]上單調遞減，在[a，2]上單調遞增．
又∵m（0）=2，m（a）=2-a²＜0，則|m（2）|＜|m（a）|
此時有|m（0）|-|m（a）|=4-a2≥0，解得a≤

3	4

∴（i）當

3

2

＜a＜

3	4

，|m（0）|＞|m（a）|
故“絕對和”為h（a）=m（0）=2
（ii）當

3	4

＜a＜2，|m（0）|＜|m（a）|
故“絕對值和”為h（a）=m（a）=a²-2
（2）a≥2，m（x）在x∈[0，2]上單調遞減，
|m（2）|＞|m（0）|，
故“絕對和”為h（a）=m（2）=12a-18≥6＞2
由（1）（2）得a的取值范圍是

3

2

＜a＜

3	4

點評：本題主要考查導數的幾何意義，用導數法求函數的最大值以及用新定義來研究最大值的應用．