Question

如圖，公園內有一塊邊長為2a的正三角形ABC空地，擬改建成花園，并在其中建一直道DE方便花園管理．設D、E分別在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面積．
（1）設AD=x（x≥a），DE=y，試將y表示為x的函數關系式；
（2）若DE是灌溉水管，為節約成本，希望其最短，DE的位置應在哪里？若DE是參觀路線，希望其最長，DE的位置應在哪里？

Answer 1

（1）因為DE均分三角形ABC的面積，
所以xAE=

1

2

(2a)2，即AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

．
因為0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以

0≤x≤2a 0≤ 2a2 x ≤2a

解得a≤x≤2a．
故y關于x的函數關系式為y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

(a≤x≤2a)．
（2）令t=x²，則a²≤t≤2a²，且y=

t+ 4a4 t -2a2

．
設f(t)=t+

4a4

t

(t∈[a2，4a2])．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，則f(t1)-f(t2)=

(t1-t2)(t1t2-4a4)

t1t2

＞0
所以f（t）在[a²，2a²]上是減函數．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函數．
于是當t=2a²即x=

2

a時，ymin=

2

a，此時DE∥BC，且AD=

2

a．
當t=a²或t=4a²即x=a或2a時，ymax=

3

a，此時DE為AB或AC上的中線．
故當取AD=

2

a且DE∥BC時，DE最短；當D與B重合且E為AC中點，或E與C重合且D為AB中點時，DE最長．