Question

曲線y=f（x）=ax³+bx²+cx，當時，f（x）有極小值，當處有極大值，且在x=1處切線的斜率為．
（I）求f（x）；
（II）曲線上是否存在一點P，使得y=f（x）的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵當時，f（x）有極小值，當處有極大值
∴f′（1±）=0
即1±為方程3ax²+2bx+c=0的兩根
∴-=（1+）+（1-）
=（1+）（1-）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1處切線的斜率為．
∴f′（1）=
∴3a+2b+c=
∴a=-，b=，c=1
∴f（x）=-x³+x²+x
（II）假設存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴-（x₀+x）³+（x₀+x）²+（x₀+x）-（x₀-x）³+（x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化簡得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀-x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴
∴x₀=1，y₀=
∴曲線上存在P（1，）滿足題意
分析：（I）根據1±是極值點可知f′（1±）=0，以及f′（1）=建立方程組，解之即可；
（II）假設存在P（x₀，y₀）滿足則f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函數解析式，化簡整理可求出所求．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數在某點取得極值的條件，同時考查了方程組的解法，屬于中檔題．