Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列對應值如表：

x	﹣
y	﹣1	1	3	1	﹣1	1	3

（1）根據表格提供的數據求函數f（x）的一個解析式；
（2）根據（1）的結果：
（ i）當x∈[0， ]時，方程f（3x）=m恰有兩個不同的解，求實數m的取值范圍；
（ ii）若α，β是銳角三角形的兩個內角，試比較f（sinα）與f（cosβ）的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）的最小正周期為T，則由表格可得T= ﹣（﹣ ）=2π= ，得ω=1，

再根據 ，解得 ，

再根據五點法作圖，可得令ω +φ= ，即 +φ= ，解得φ=﹣ ，

∴f（x）=2sin（x﹣ ）+1．

（2）解：（ i）f（3x）=2sin（3x﹣ ）+1，令t=3x﹣ ，∵x∈[0， ]，∴t∈[﹣ ， ]，

如圖，s=sint 在[﹣ ， ]上有兩個不同的解，則s∈[ ，1），

∴方程 f（3x）=2sin（3x﹣ ）+1=2s+1=m在x∈[0， ]時恰好有兩個不同的解，則m∈[ +1，3），

即實數m的取值范圍是[ +1，3）．

（ ii）由 得 ，

∴f（x）在 上單調遞增，故在[0，1]上單調遞增．

∵α、β是銳角三角形的兩個內角，∴α+β＞ ， ＞α＞ ﹣β，

∴sinα＞sin（ ﹣β）=cosβ，且sinα，cosβ∈[0，1]，于是f（sinα）＞f（cosβ）．

【解析】（1）由函數的最值求出A、B，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．（2）（ i）由題意可得y=2sin（3x﹣ ）+1的圖象和直線y=m在[0， ]上恰好有兩個不同的交點，數形結合求得m的范圍；（ ii）由條件可得f（x）在 上單調遞增，故在[0，1]上單調遞增，且α、β是銳角三角形的兩個內角，α+β＞ ，即 ＞α＞ ﹣β，由此可得f（sinα）與f（cosβ）的大小關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象(描點法及其特例—五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）)．