Question

【題目】已知為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦分別過左右焦點(diǎn)，且當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時(shí)， ．

（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)，試判斷是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值6．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)線段的中點(diǎn)在y軸上時(shí),AC垂直于x軸, 為直角三角形.運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得,易知,再由橢圓的定義,結(jié)合離心率公式即可得到所求值;
(2)由(1)得橢圓方程為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,當(dāng)AB,AC的斜率都存在時(shí),設(shè),求得直線AC的方程,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,再由向量共線定理,可得為定值6;若軸,若軸,計(jì)算即可得到所求定值.

試題解析：

解：（1）當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時(shí)， 垂直于軸， 為直角三角形，

因?yàn)?/span>，所以，

易知，

由橢圓的定義可得，

則，即；即，即有；

（2）由（1）得橢圓方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

①當(dāng)的斜率都存在時(shí)，設(shè)，

則直線的方程為，代入橢圓方程得：

，

可得，又，

同理，可得；

（2）若軸，則， ，這時(shí)；

若軸，則，這時(shí)也有；

綜上所述， 是定值6．