Question

(本題滿分13分)已知拋物線過點。

（1）求拋物線的標準方程，并求其準線方程；

（2）是否存在平行于(為坐標原點）的直線，使得直線與的距離等于?

若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由。

（3）過拋物線的焦點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與拋物線相交于點，與拋物線相交于點，求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) 拋物線的方程為，其準線方程為 (2) 符合題意的直線存在，其方程為 (3) 的最小值為16.

【解析】

試題分析：（1）將帶入，得，所以,

故所求拋物線的方程為，其準線方程為.                   ……2分

（2）假設存在符合題意的直線，其方程為,

由得,                                     ……3分

直線與拋物線有公共點，

解得,                                           ……4分

由直線與的距離可得，解得,                 ……5分

,

符合題意的直線存在，其方程為.                        ……7分

(3)由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為,

由，得,

設，則是上述方程的兩個實根,

于是,

因為，所以斜率為，

設，則同理可得。

故==

==

=

=,

當且僅當，即時取最小值.                    ……13分

考點：本小題主要考查雙曲線標準方程的求法和直線與雙曲線的位置關系的應用以及平面向量的坐標運算、基本不等式的應用等，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力和運算求解能力.

點評：直線與圓錐曲線的位置關系問題是高考考查的重點內容，且一般出在壓軸題的位置，難度較大，主要是運算量較大，所以要充分利用數形結合思想的應用，盡量簡化運算.