Question

已知函數 ，，其中(1)若，求的極小值；(2)在(1)條件下證明；(3)是否存在實數,使的最小值為3,如果存在，求出實數的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) f(x)的極小值為f(1)=1  (Ⅱ) 略 （Ⅲ）a=e²

：(1)∵f(x)=ax-lnx，f′(x)="1-" = ，∴當0＜x＜1時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減；
當1＜x＜e時，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增。3分∴ f(x)的極小值為f(1)=1．4分
(2)∵f(x)的極小值為1，即f(x)在（0，e）上的最小值為1，∴f(x)＞0，f(x)_min=1．……6分
令h(x) = g(x)+ = + ，h′(x)= ，
當時，h′(x)＞0，h(x)在上單調遞增，
∴h(x) h(e)= +＜+=1，…9分∴在(1)的條件下，f(x)＞g(x)+．…10分
(3)假設存在實數a，使f(x) =ax-lnx ，x∈[0, e]有最小值3，f′(x)=a - = ，
①當0＜＜e時，f(x)在(0,)上單調遞減，在(, e]上單調遞增．
f(x)_min= f()=1+lna=3，a=e²，滿足條件．……13分
②當≥e時，f(x)在上單調遞減，f(x)_min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，
所以，此時f(x)無最小值．…15分
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0, e]時f(x)有最小值為3．…16分