Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值.
（Ⅰ）求曲線C₁的方程；
(1-4班做)（Ⅱ）設P(x₀,y₀)（y₀≠±3）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.
（5-7班做）（Ⅱ）設P(-4,1)為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于點A，B和C，D.證明：四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.

Answer 1

（Ⅰ）曲線的方程為.
（Ⅱ）當P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400.

本事試題主要是考查了解析幾何中運用坐標法解決幾何問題的實質。
（1）由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為
（2）因為P的坐標為，則過P且與圓
相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為，
設過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，故
同理得到，進而證明。
（2）當點P在直線上運動時，P的坐標為，又，則過P且與圓
相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為，
設過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，故
同理得到，進而證明。