Question

定義向量=（a，b）的“相伴函數”為f（x）=asinx+bcosx，函數f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為=（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x-2）²+y²=1上一點，向量的“相伴函數”f（x）在x=x處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用誘導公式對其化簡，再結合定義即可得到證明；
（2）先根據定義求出其相伴向量，再代入模長計算公式即可；
（3）先根據定義得到函數f（x）取得最大值時對應的自變量x；再結合幾何意義求出的范圍，最后利用二倍角的正切公式即可得到結論．
解答：解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，
其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．
（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
=（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
=-sinαsinx+（cosα+2）cosx
∴函數h（x）的‘相伴向量’=（-sinα，cosα+2）．
則||==．
（3）的‘相伴函數’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
其中cosφ=，sinφ=．
當x+φ=2kπ+，k∈Z時，f（x）取到最大值，故x=2kπ+-φ，k∈Z．
∴tanx=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，
tan2x===．
為直線OM的斜率，由幾何意義知：∈[-，0）∪（0，]．
令m=，則tan2x=，m∈[-，0）∪（0，}．
當-≤m＜0時，函數tan2x=單調遞減，∴0＜tan2x≤；
當0＜m≤時，函數tan2x=單調遞減，∴-≤tan2x＜0．
綜上所述，tan2x∈[-，0）∪（0，]．
點評：本體主要在新定義下考查平面向量的基本運算性質以及三角函數的有關知識．是對基礎知識的綜合考查，需要有比較扎實的基本功．