Question

給出下列四個命題：
①“向量

a

，

b

的夾角為銳角”的充要條件是“

a

•

b

＞0”；
②如果f（x）=lgx，則對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
③設f（x）與g（x）是定義在同一區間[a，b]上的兩個函數，若對任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數”，區間[a，b]稱為“密切區間”．若f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函數”，則其“密切區間”可以是[2，3]；
④記函數y=f（x）的反函數為y=f^-1（x），要得到y=f^-1（1-x）的圖象，可以先將y=f（x）的圖象關于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位，即得到y=f^-1（1-x）的圖象．
其中真命題的序號是

 

．（請寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據平面向量數量積的定義，可以判斷①的真假；根據根據函數凸凹性，可以判斷②的真假；根據二次函數的性質及絕對值的運算法則，可以判斷③的真假；根據函數圖象的變換法則，我們可以得到④的真假；進而得到答案．

解答：解：“

a

•

b

＞0”還包括

a

與

b

同向（此時向量

a

，

b

的夾角為0）的情況，故①錯誤；
由于函數f（x）=lgx，在區間（0，+∞）上是凸增的，故對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②正確；
當f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3時，|f（x）-g（x）|=|x²-5x+7|，∵在區間[2，3]上|x²-5x+7|∈[0，1]，故③正確；
先將y=f（x）的圖象關于直線y=x做對稱變換，再將所得的圖象關于y軸做對稱變換，再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位，可以得到y=f′（-x-1）的圖象，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，函數的圖象的變換，函數的值域，及對數函數的圖象及性質，其中熟練掌握初等基本函數的圖象與性質是解答本題的關鍵．