Question

定義向量的運算

a

?

b

=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞（其中＜

a

，

b

＞為向量

a

，

b

的夾角），設

OA

，

OB

為非零向量，則下列說法正確的是

①②④

．
①

OA

?

OB

是非負實數；
②若向量

OA

，

OB

共線，則有

OA

?

OB

=0；
③若向量

OA

，

OB

垂直，則有

OA

?

OB

=0；
④若O，A，B能構成三角形，則三角形面積S_OAB=

1

2

OA

?

OB

．

Answer 1

分析：根據向量夾角的范圍與

OA

?

OB

的定義，結合正弦函數在[0，π]非負可得①正確；根據向量共線的含義得當向量

OA

，

OB

共線時sin＜

OA

，

OB

＞=0，故

OA

?

OB

=0，得②正確；若向量

OA

，

OB

垂直，則sin＜

OA

，

OB

＞=sin90°=1，得到

OA

?

OB

≥0，故③不正確；根據三角形的面積公式與

OA

?

OB

的定義，可得④正確．

解答：解：∵＜

OA

，

OB

＞為向量

OA

、

OB

的夾角，
∴＜

OA

，

OB

＞∈[0°，180°]，可得sin＜

OA

，

OB

＞≥0，
又∵|

OA

|≥0且|

OB

|≥0，∴

OA

?

OB

是非負實數，可得①正確；
∵若向量

OA

，

OB

共線，則＜

OA

，

OB

＞=0°或180°，可得sin＜

OA

，

OB

＞=0，
∴向量

OA

，

OB

共線時，

OA

?

OB

=0，可得②正確；
∵若向量

OA

，

OB

垂直，則＜

OA

，

OB

＞=90°，可得sin＜

OA

，

OB

＞=1，
∴向量

OA

，

OB

垂直時，

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞=|

OA

|•|

OB

|，
由|

OA

|≥0且|

OB

|≥0得

OA

?

OB

=0不一定成立，故③不正確；
∵△OAB的面積S_△OAB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB，
∴由

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞，可得S_△0AB=

1

2

OA

?

OB

．故④正確．
綜上所述，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④

點評：本題給出

a

?

b

的定義，判斷幾個命題的真假．著重考查了向量的數量積及其運算性質、向量的夾角范圍和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．