Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．

（1）求證：BE∥平面PDF；

（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；

（3）求BE與平面PAC所成的角．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）45°．

【解析】

（1）取PD的中點為M，連接ME，MF，證明BE∥MF，BE∥平面PDF即得證；

（2）先證明DF⊥平面PAB，平面PDF⊥平面PAB即得證；

（3）利用定義法求BE與平面PAC所成的角．

（1）證明：取PD的中點為M，連接ME，MF，

∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線．

∴ME∥CD，MECD．

又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∴ME∥FB，且ME＝FB．

∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF．

∵BE平面PDF，MF平面PDF，

∴BE∥平面PDF．

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，

∴DF⊥PA．連接BD，

∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△DAB為正三角形．

∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．

∵PA∩AB＝A，∴DF⊥平面PAB．

∵DF平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．

（3）連結BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．

∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．

∴∠BEO是BE與平面PAC所成的角．

∵O，E，分別是中點，∴OEAP＝1，OD1，

∴Rt△BOE為等腰直角三角形，∴∠BEO＝45°，

即BE與平面PAC所成的角的大小為45°．