Question

【題目】(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.

(1)求證：PD⊥平面PAB；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 見解析，（2），（3）

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AB⊥平面PAD，即得AB⊥PD，再根據(jù)PA⊥PD，由線面垂直判定定理得結論， (2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解平面PCD法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關系求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)由 BM∥平面PCD得向量BM與平面法向量垂直，根據(jù)向量數(shù)量積為零，解得的值.

試題解析: (1)證明　∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又AB⊥AD，AB平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD.∵PD平面PAD.∴AB⊥PD.

又PA⊥PD，PA∩AB＝A，

∴PD⊥平面PAB.

(2)解　取AD中點O，連接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.

又∵PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD.

∵CO平面ABCD，∴PO⊥CO.

∵AC＝CD，∴CO⊥AD.

以O為原點建立如圖所示空間直角坐標系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0).

則＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(2，0，－1).

＝(－2，－1，0).

設n＝(x0，y0，1)為平面PDC的一個法向量.

由得解得

即n＝.

設PB與平面PCD的夾角為θ.

則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝

＝.

(3)解　設M是棱PA上一點，則存在λ∈[0，1]使得＝λ，因此點M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).因為BM平面PCD，所以BM∥平面PCD，

當且僅當·n＝0，即(－1，－λ，λ)·＝0，解得λ＝，所以在棱PA上存在點M使得BM∥平面PCD，此時＝.