【題目】已知等差數列
的前
項的和為
，公差
，若
，
，
成等比數列，
；數列
滿足：對于任意的
，等式
都成立.
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：數列是等比數列；
（3）若數列
滿足
，試問是否存在正整數
，
（其中
），使
，
，
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數組
；若不存在，請說明理由.
【答案】(1) 
;(2)見解析；（3）見解析.
【解析】分析：（1）根據已知解方程組得
，即得數列
的通項公式.（2）利用作差法化簡
即得
，即證明數列
是等比數列.(3)先化簡
,再化簡
，
，
成等比數列,對s分類討論得解.
詳解：（1）設數列公差為
，由題設得
即
解得
∴數列的通項公式為：
.
（2）∵
∴
，①
∴
，②
由②-①得
，③
∴
，④
由④-③得
，
由①知
，
，∴.
又
，∴數列是等比數列.
（3）假設存在正整數
，
（其中
），使，，成等比數列，則
，
，
成等差數列.
由（2）可知：
，∴
.
于是，
.
由于
，所以
因為當
時，
，即
單調遞減，
所以當
時，
，不符合條件，
所以
或
，
又，所以
，所以
當時，得
，無解，
當時，得
，所以
，
綜上：存在唯一正整數數組
，使，，成等比數列.
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，在四面體PABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小．寫出對四面體性質的猜想，并證明你的結論
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知任意角
以坐標原點
為頂點，
軸的非負半軸為始邊，若終邊經過點
，且
，定義：
，稱“
”為“正余弦函數”，對于“正余弦函數
”，有同學得到以下性質：
①該函數的值域為
； ②該函數的圖象關于原點對稱；
③該函數的圖象關于直線
對稱； ④該函數為周期函數，且最小正周期為
；
⑤該函數的遞增區間為
.
其中正確的是__________．（填上所有正確性質的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
(
為實常數) ．
（I）當
時，求函數
在
上的最大值及相應的
值；
（II）當
時，討論方程
根的個數．
（III）若
，且對任意的
，都有
，求
實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻數分布表。
A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
B地區用戶滿意度評分的頻數分布表
（Ⅰ）在答題卡上作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）；
（Ⅱ）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：
滿意度評分 | 低于70分 | 70分到89分 | 不低于90分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 滿意 | 非常滿意 |
估計哪個地區的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,四邊形
中, 
= 
=
= 
分別在
上, 
,現將四邊形
沿
折起,使
.
(1)若
,在折疊后的線段
上是否存在一點
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由;
(2)求三棱錐
的體積的最大值,并求出此時點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量
，函數
的最小值為
.
（1）當
時，求的值；
（2）求；
（3）已知函數
為定義在上的增函數，且對任意的
都滿足
，問：是否存在這樣的實數
，使不等式
對所有
恒成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.
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