Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉一周，求所得旋轉體的表面積及體積．

Answer 1

分析：根據該旋轉體的外形分析其結構可得，它是在一個底面半徑為2a、高為

3

a的圓柱中挖去一個底面半徑為a、高為

3

a的圓錐，由此不難請計算出它的表面積和體積．

解答：解：由題意，線段AB旋轉一周形成圓柱的側面，線段CB旋轉一周形成圓C，CD旋轉一周形成圓錐的側面，線段AD旋轉一周形成一個圓環，
∵∠DCB=60°，∴圓錐的底面半徑為r=a，母線l=2a，高為

3

a
∴旋轉體的表面積S=S_圓柱側+S_圓C+S_圓錐側+S_圓環=2π•2a•

3

a+π•（2a）²+π•a•2a+π[（2a）²-a²]=(9+4

3

)πa2…（7分）   
 該旋轉體的體積是經AB為母線的圓柱體積減去以CD為母線的圓錐的體積，即
 V=π•（2a）²•

3

a-

1

3

π•a²•

3

a=

11

3

3

πa3…（14分）

點評：本題給出一個特殊的旋轉體，要我們求的表面積與體積，著重考查了圓柱、圓錐的側面積和體積等公式，屬于基礎題．