Question

正方體的棱線長為1，面對角線上有兩個動點E，F，且，則下列四個結論中① ②平面 ③三棱錐的體積為定值 ④異面直線所成的角為定值，其中正確的個數是

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

試題分析：①AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
②EF∥平面ABCD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩個底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF∥平面ABCD，此命題正確；
③三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確；
④異面直線AE、BF所成的角為定值，由圖知，當F與B1重合時，令上底面頂點為O，則此時兩異面直線所成的角是∠A₁AO，當E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是OBC1，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值．
綜上知①②③正確，故選C。

點評：中檔題，解答本題關鍵是正確理解正方體的幾何性質，且能根據這些幾何特征，對其中的點線面和位置關系作出正確判斷．另外，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明也是解答本題的關鍵。