Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，數列{a_n}滿足：-

1

2

＜a1＜0，21+an+1=f(an)，（n∈N^*）．
（1）求證：-

1

2

＜an＜0（n∈N^*）．
（2）判斷a_n與a_n+1（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①當n=1時，已知-

1

2

＜a1＜0成立；②假設n=k（n∈N^*）時，不等式-

1

2

＜ak＜0成立．要證-

1

2

＜ak+1＜0成立，只需

2

＜21+an+1＜2，因為21+ak+1=f(ak)，所以只需

2

＜f(ak)＜2．利用導數能夠得到當n=k+1時，-

1

2

＜an＜0（n∈N^*）也成立．由①，②可知，-

1

2

＜an＜0對于任意n∈N^*都成立．
（2）21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak．令g（x）=f（x）-2^1+x，則g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（-4^x-2^x+1）ln4，因為-t²-t+1=0時，t=

-1± 5

2

，所以t＜

-1- 5

2

，或t＞

-1+ 5

2

時，-t²-t+1＜0．由此能夠比較a_n與a_n+1（n∈N^*）的大小．

解答：（1）證明：①當n=1時，已知-

1

2

＜a1＜0成立；
②假設n=k（n∈N^*）時，不等式-

1

2

＜ak＜0成立．
要證-

1

2

＜ak+1＜0成立，只需

2

＜21+an+1＜2，
∵21+ak+1=f(ak)，
∴只需

2

＜f(ak)＜2．
又f′（x）=-4^xln4+2ln2=（1-4^x）ln4
當-

1

2

＜x＜0時，0＜1-4x＜

1

2

，
∴f(-

1

2

) ＜f(ak)＜f(0)．
又f（0）=2，f(-

1

2

) =

5

2

-ln2=

3

2

+1-ln2＞

2

，
∴當n=k+1時，不等式-

1

2

＜an＜0也成立．
由①，②可知，-

1

2

＜an＜0對于任意n∈N^*都成立．
（2）解：21+ak+1-21+ak=f(an)-21+ak
令g（x）=f（x）-2^1+x，
則g′（x）=f′（x）-2^1+xln2=（1-4^x）ln4-2^xln4=（-4^x-2^x+1）ln4．
∵-t²-t+1=0時，t=

-1± 5

2

，
∴t＜

-1- 5

2

，或t＞

-1+ 5

2

時，-t²-t+1＜0，
而x＞-

1

2

時，2x＞

2

2

＞

-1+ 5

2

，
∴x＞-

1

2

時，g′（x）＜0，
即f(an)-21+ak＞f(0)-2=0，
∴21+ak+1＞21+ak，
即a_n+1＞a_n（n∈N^*）．

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意數學歸納法的合理運用．