Question

已知f（x）=3+log₂x，x∈[1，4]，則g（x）=f（x²）-[f（x）]²有（　　）

Answer 1

分析：根據復合函數對應法則，得g（x）=（log₂x）²-4log₂x-6．再換元：令log₂x=t，得g（x）=-t²-4t-6，其中0≤t≤1．最后結合二次函數在區間上求最值的方法，可得到本題的答案．

解答：解：g（x）=f（x²）-[f（x）]²=3+log₂x²-（3+log₂x）²=（log₂x）²-4log₂x-6
令log₂x=t，結合x∈[1，4]且x²∈[1，4]，得1≤x≤2
g（x）=F（t）=-t²-4t-6，其中0≤t≤1
∵F（t）=-t²-4t-6=-（t-2）²-10，在[0，1]上是減函數
∴t=0時，F（t）的最大值為-6；t=1時，F（t）的最小值為-11
即g（x）的最大值為-6，最小值為-11
故選：C

點評：本題給出以log₂x為單位元的“類二次”函數，求函數的最值．著重考查了對數運算法則、復合函數運算和二次函數在區間上求最值的方法等知識，屬于中檔題．