在平面直角坐標系
中，點
到點
的距離比它到
軸的距離多1，記點的軌跡為
.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設斜率為
的直線
過定點
，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.
（1）
；（2）當
時直線與軌跡恰有一個公共點； 當
時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點； 當
時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點.
解析試題分析：（1）設點
，根據條件列出等式
，在用兩點間的距離公式表示
，化簡整理即得；（2）在點的軌跡中，記
，
，設直線的方程為
，聯立方程組
整理得
，分類討論①
時；② 
；③ 
或
；④ 
，確定直線與軌跡的公共點的個數.
（1）設點，依題意，，即
，
整理的
，
所以點的軌跡的方程為.
（2）在點的軌跡中，記，，
依題意，設直線的方程為，
由方程組得 ①
當時，此時
，把代入軌跡的方程得
，
所以此時直線與軌跡恰有一個公共點
.
當
時，方程①的判別式為
②
設直線與
軸的交點為
，則由，令
，得
③
（ⅰ）若，由②③解得
或
.
即當時，直線與
沒有公共點，與
有一個公共點，
故此時直線與軌跡恰有一個公共點.
（ⅱ）若或，由②③解得
或
，
即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點.
當
時 ，直線與有兩
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為
，
為上頂點，
為坐標原點，若△
的面積為
，且橢圓的離心率為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線
交橢圓于
，
兩點， 且使點為△
的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
（1）若橢圓C上一動點
滿足
，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點
作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
，求P點的坐標；
（3）已知
，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）
已知雙曲線
的兩條漸近線分別為
.
（1）求雙曲線
的離心率；
（2）如圖，
為坐標原點，動直線
分別交直線
于
兩點（分別在第一，四象限），且
的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設橢圓
動直線
與橢圓
只有一個公共點
，且點在第一象限.
（１）已知直線的斜率為
，用
表示點的坐標；
（２）若過原點
的直線
與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓
的方程為
，定直線
的方程為
．動圓
與圓外切，且與直線相切．
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）直線
與軌跡相切于第一象限的點
, 過點作直線的垂線恰好經過點
，并交軌跡于異于點的點
，求直線
的方程及
的長.
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經過點
，離心率為
，左右焦點分別為
.
與橢圓交于
兩點，與以
為直徑的圓交于
兩點，且滿足
，求直線
的方程.
經過點
，離心率
，直線
與橢圓交于
，
兩點，向量
，
，且
．
（
為半焦距）時，求直線
.
與橢圓
相交于
兩點，點
是線段
上的一點，
且點
上.
的對稱點在單位圓
上，求橢圓的方程.