Question

【題目】已知函數 （0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求證：1是g（x）的唯一極小值點；
（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），滿足f（a）=g（b），求m的取值范圍．（只需寫出結論）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為 = ，

令f'（x）=0，得

因為0＜x＜π，所以

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	極大值	↘

故f（x）的單調遞增區間為 ，f（x）的單調遞減區間為

（Ⅱ）證明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴ （x＞0），

設 ，則

故g'（x）在（0，+∞）是單調遞增函數，

又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一實根x=1

當x變化時，g'（x），g（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	﹣	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

故g（x）在x=1時取得極小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一極小值點．

（Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）根據f（x）0時f（x）單調遞增，f（x）0時f（x）單調遞減可求出f（x）的單調區間；（Ⅱ）構造函數h（x）=g（x），導論h（x）的單調性并求出h（x）的零點；（Ⅲ）使g（x）minf（x）max即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．