Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）若存在n∈N^*，使得S_n+1﹣2≤8n³λ成立，求實數λ的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：
解題思路：（1）設出等比數列的首項與公比，列出關于的方程組，解得即可；（2）由（1）得出，利用錯位相減法求和；（3）先進行變量分離，轉化為求關于的函數的最值問題.
規律總結：涉及等差數列或等比數列的通項問題，往往列出關于基本量的方程組，進而求出基本量，數列求和的方法主要有：倒序相加法、裂項抵消法、分組求和法、錯位相減法.
注意點：存在n∈N^*，使得成立，只需，而不是最大值.
試題解析：（1）設等比數列的公比為q，
∵a₁+a₂+a₃=14，且a₂+1是a₁，a₃的等差中項，
∴，
解得q=2，a₁=2，或q=，a₁=8（舍）
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①﹣②，得
=，
∴．
（3）由（2）知，
原問題等價于：存在n∈N^*，使得成立，
令f（n）=，只需λ≥f（n）_min即可，
∵f（n+1）﹣f（n）==，
∴f（n+1）﹣f（n）的正負取決于n²﹣2n﹣1=（n﹣1）²﹣2的正負，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜…
∴f（n）_min=f（3）=，即，
∴λ的最小值是．.
考點：1.數列的通項公式；2.數列的前項和.