Question

設(shè)函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）如果對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）；（3）.

試題分析：本題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，突出考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.第一問(wèn)，先寫(xiě)出解析式，求，討論參數(shù)的正負(fù)，解不等式，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；第二問(wèn)，先將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，等價(jià)于，所以本問(wèn)考查函數(shù)的最值，對(duì)求導(dǎo)，令得出根，將所給定義域斷開(kāi)列表，判斷單調(diào)性，求出最值；第三問(wèn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用第一問(wèn)的結(jié)論，所以，即恒成立，即恒成立，所以本問(wèn)的關(guān)鍵是求的最大值.
試題解析：（1），    ，
①當(dāng)時(shí)，∵,，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，由得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
 得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為     5分
（2）存在，使得成立
等價(jià)于：，                     7分
考察，，

			0
		遞減	極（最）小值	遞增

由上表可知：，
，                 9分
所以滿足條件的最大整數(shù)；                      10分
（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024515185621.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)任意的，都有成立，
，即恒成立，
等價(jià)于恒成立，
記，,所以,
,∵，時(shí),時(shí)，,
在區(qū)間上遞增，在上遞減.
所以                                    12分