Question

（本小題滿分14分）設函數f(x)＝x²＋e^x－xe^x.(1)求f(x)的單調區間；
(2)若當x∈[－2,2]時，不等式f(x)＞m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

(1)f(x)的單調減區間為(－∞，＋∞)．(2)m＜2－e²時，不等式f(x)＞m恒成立．

解析試題分析：(I)直接求導，根據導數大（于）零，解不等式可得函數的單調增（減）區間.
(1)函數f(x)的定義域為(－ ∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋e^x－(e^x＋xe^x)＝x(1－e^x)，
若x＜0，則1－e^x＞0，所以f′(x)＜0；
若x＞0，則1－e^x＜0，所以f′(x)＜0；
∴f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數，
即f(x)的單調減區間為(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上單調遞減．
∴[f(x)]_min＝f(2)＝2－e²，
∴m＜2－e²時，不等式f(x)＞m恒成立．
考點：函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．
點評：導數主要用在研究函數的單調性，極值，最值等方面.要注意極值的判斷方法.