Question

【題目】已知橢圓中心在坐標原點，焦點在軸上，且過，直線與橢圓交于,兩點（,兩點不是左右頂點），若直線的斜率為時，弦的中點在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）若以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點，則直線是否經過定點，若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為：;(2)見解析.

【解析】

（1）根據斜率公式以及中點坐標公式得，，再由橢圓的標準方程利用點差法得，因此可得，最后與在橢圓上聯立方程組解得，（2）根據以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點，得，設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理代入化簡得，解得或，即得定點，最后驗證斜率不存在的情形也滿足.

（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，，

由題意直線的斜率為，弦的中點在直線上，得，，

再根據作差變形得 ，所以，又因為橢圓過得到，

所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）由題意可得橢圓右頂點，

⑴當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，此時要使以,兩點為直徑的圓過橢圓的右頂點則有以解得或（舍）此時直線為

⑵當直線的斜率存在時，設直線的方程為，則有，

化簡得①

聯立直線和橢圓方程得，

， ②

把②代入①得

即

，得或此時直線過或（舍）

綜上所述直線過定點.