Question

已知點O在二面角α－AB－β的棱上，點P在α內，且∠POB＝45°．若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α－AB－β的取值范圍是_________．

Answer 1

若二面角α－AB－β的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設垂足為H.
過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角的平面角. 根據題意得，由于對于β內異于O的任意一點Q，都有
∠POQ≥45°，∴，設PO=，則
又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，而在中應有
PC>PH ,∴顯然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能為銳角。
即二面角的范圍是。